制限米田埋め込みとGrothendieck位相に関する圏論的性質および位相空間・加群の圏における具体例

自然変換 $\alpha: I(X) \to F$ を任意にとる。$\alpha$ は各 $S \in \text{Ob}(\mathcal{B})$ において成分 $\alpha_S: \text{Hom}_{\mathcal{C}}(S, X) \to F(S)$ を持つ。

図式 $\mathcal{B} \downarrow X$ の各対象 $s: S \to X$ に対して、要素 $\alpha_S(s) \in F(S)$ が定まる。$\alpha$ が自然変換であるという条件は、$\mathcal{B}$ の任意の射 $u: S' \to S$ に対して、$F(u): F(S) \to F(S')$ と $I(X)(u): \text{Hom}_{\mathcal{C}}(S, X) \to \text{Hom}_{\mathcal{C}}(S', X)$ について図式が可換になること、すなわち $$ F(u)(\alpha_S(s)) = \alpha_{S'}(s \circ u) $$ が成り立つことである。

ここで $s' = s \circ u$ と置くと、射 $u$ はコンマ圏 $\mathcal{B} \downarrow X$ における射 $u: (S', s') \to (S, s)$ であり、$F$ をこのコンマ圏上の図式とみなしたときの制限写像が上の等式である。したがって、自然変換を与えることは、すべての $s: S \to X$ について両立する元の族 $\{\alpha_S(s)\} \in \prod F(S)$ を一つ指定することと全く同じであり、これは逆極限（射影極限）$\varprojlim_{(S, s)} F(S)$ の定義に他ならない。

$I$ が忠実充満であるとは、任意の $X, Y \in \text{Ob}(\mathcal{C})$ に対して、写像 $$I_{X,Y}: \text{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to \text{Nat}(I(X), I(Y)), \quad f \mapsto I(f)$$ が全単射になることである。ここで $I(f)$ は、各 $S \in \text{Ob}(\mathcal{B})$ において $I(f)_S: \text{Hom}_{\mathcal{C}}(S, X) \to \text{Hom}_{\mathcal{C}}(S, Y)$ を $s \mapsto f \circ s$ と定める自然変換 (natural transformation) である。

ステップ 1: 自然変換と余錐の対応
制限米田の補題（定理 2.1）において、前層を $F = I(Y)$ と置く。すると自然な全単射 $$\text{Nat}(I(X), I(Y)) \cong \varprojlim_{(S, s) \in (\mathcal{B} \downarrow X)^{\text{op}}} I(Y)(S)$$ が得られる。ここで右辺の極限の中身は $I(Y)(S) = \text{Hom}_{\mathcal{C}}(S, Y)$ である。コンマ圏の逆極限 $\varprojlim_{s: S \to X} \text{Hom}_{\mathcal{C}}(S, Y)$ の元とは、各 $s: S \to X$ に対して射 $c_s: S \to Y$ を割り当てる規則であり、任意の $\mathcal{B}$ の射 $u: S' \to S$ について $c_{s \circ u} = c_s \circ u$ を満たす族 $\{c_s\}$ のことである。

これはまさに、図式 $\mathcal{B} \downarrow X$ から対象 $Y$ への余錐 (cocone) の定義に他ならない。

ステップ 2: 同値性の帰結
前述の通り、射 $f: X \to Y$ から定まる自然変換 $I(f)$ は余錐 $c_s = f \circ s$ に対応する。したがって、$I_{X,Y}$ が全単射である（関手が忠実充満である）という主張は、以下のように翻訳できる。

「図式 $\mathcal{B} \downarrow X$ から $Y$ への任意の余錐 $\{c_s\}$ に対して、ただ一つの射 $f: X \to Y$ が存在して、すべての $s$ について $c_s = f \circ s$ が成り立つ。」

これはまさに、$X$ を頂点とし $\{s\}$ を辺とする族が、図式の余極限になるという普遍性の定義そのものである。したがって、定理の同値性が示された。

$F = \text{Hom}_{\mathcal{C}}(-, X)|_{\mathcal{B}}$ とする。層の条件 $F(S) \cong \text{Nat}(R, F)$ の両辺を要素ごとに書き下す。

左辺は定義より $F(S) = \text{Hom}_{\mathcal{C}}(S, X)$ である。右辺の自然変換 $\alpha \in \text{Nat}(R, F)$ は、各 $f: U \to S \in R$ に対して射 $\alpha(f): U \to X \in \mathcal{C}$ を対応させる族であり、自然性の条件として、任意の $\mathcal{B}$ の射 $h: V \to U$ に対し $$\alpha(f \circ h) = \alpha(f) \circ h$$ を満たす。これは、ふるい $R$ に属する射からなるインデックス圏から $X$ への両立条件を満たす射の族（すなわち余錐）に他ならない。

層の条件を満たすための写像 $\Phi: \text{Hom}_{\mathcal{C}}(S, X) \to \text{Nat}(R, F)$ は、$x \mapsto \{x \circ f\}_{f \in R}$ で与えられる。この $\Phi$ が全単射であるということは、以下の2条件が満たされることと同値である。

1. 全射性: 任意の自然変換（両立する族）$\alpha$ に対して、ある射 $x: S \to X$ が存在して $\alpha(f) = x \circ f$ がすべての $f \in R$ で成立する。
2. 単射性: そのような $x$ は一意に定まる。

これはまさに、ふるい $R$ （のなす図式）から $X$ への任意の余錐が、$S$ を経由して一意に分解できること、すなわち図式 $R$ が圏 $\mathcal{C}$ において対象 $S$ を余極限に持つことの普遍性の定義そのものである。

($\Rightarrow$ の証明)
$f$ が連続であるとする。$f(\infty)$ の $X$ における任意の開近傍 $U$ をとる。$f$ の連続性より、逆像 $f^{-1}(U)$ は $\hat{\mathbb{N}}$ における $\infty$ の開近傍である。$\hat{\mathbb{N}}$ の位相の定義から、ある有限集合 $F \subset \mathbb{N}$ が存在して $\hat{\mathbb{N}} \smallsetminus F \subset f^{-1}(U)$ となる。$F$ は有限であるため、ある自然数 $N$ が存在して、すべての $n \ge N$ について $n \notin F$ となる。したがって $n \ge N$ ならば $n \in f^{-1}(U)$、すなわち $f(n) \in U$ である。これは点列 $(f(n))$ が $f(\infty)$ に収束することを意味する。

($\Leftarrow$ の証明)
点列 $(f(n))$ が $f(\infty)$ に収束すると仮定する。$X$ の任意の開集合 $U$ をとり、その逆像 $f^{-1}(U)$ が $\hat{\mathbb{N}}$ で開集合になることを示す。もし $\infty \notin f^{-1}(U)$ であれば、$f^{-1}(U) \subset \mathbb{N}$ である。$\mathbb{N}$ の任意の部分集合は開集合であるから、$f^{-1}(U)$ は開集合である。一方、$\infty \in f^{-1}(U)$、すなわち $f(\infty) \in U$ の場合、収束の仮定より、ある $N$ が存在して $n \ge N$ ならば $f(n) \in U$ となる。したがって $f^{-1}(U)$ は $\infty$ を含み、かつ補集合が有限集合（高々 $\{1, \dots, N-1\}$ の部分集合）となるため、$\hat{\mathbb{N}}$ における開集合である。よって $f$ は連続である。

位相空間の圏 $\mathbf{Top}$ における余極限の位相は最終位相 (final topology) である。圏論的な同型 $X \cong \varinjlim (\{\hat{\mathbb{N}}\} \downarrow X)$ が成り立つということは、集合としての $X$ に与えられている位相が、すべての連続写像 $f: \hat{\mathbb{N}} \to X$ に関する最終位相と一致することと同値である。最終位相の定義より、これは以下のように言い換えられる。

「$X$ の部分集合 $U$ が開集合である $\iff$ 任意の連続写像 $f: \hat{\mathbb{N}} \to X$ に対して、$f^{-1}(U)$ が $\hat{\mathbb{N}}$ の開集合である。」

補題 6.1 より、$\hat{\mathbb{N}}$ から $X$ への連続写像は、$X$ における収束列とその極限点の組と完全に一対一対応する。すなわち、$f$ が連続であるとは、点列 $(f(n))$ が $f(\infty)$ に収束することに他ならない。

ここで、「$f^{-1}(U)$ が $\hat{\mathbb{N}}$ の開集合である」という条件を解読する。
もし $f(\infty) \notin U$ ならば、$\infty \notin f^{-1}(U)$ となり、$\mathbb{N}$ の任意の部分集合は開集合であるから無条件で成立する。
問題は $f(\infty) \in U$ の場合である。$\infty \in f^{-1}(U)$ が $\hat{\mathbb{N}}$ の開集合であるための必要十分条件は、補集合が有限であること、すなわち「ある $N \in \mathbb{N}$ が存在して、すべての $n \ge N$ について $n \in f^{-1}(U)$（つまり $f(n) \in U$）」となることである。

これをまとめると、上記の条件は以下のように翻訳される。

「$X$ の部分集合 $U$ が開集合である $\iff$ $X$ において点 $x \in U$ に収束する任意の点列 $(x_n)$ に対して、ある $N$ が存在して $n \ge N$ ならば $x_n \in U$ となる。」

この右辺は、まさに $U$ が点列的に開 (sequentially open) であるという定義そのものである。したがって、この圏論的な等式は、「開集合であること」と「点列的に開であること」が一致するという点列空間の定義と完全に同値である。

定理4.2より、前層 $I(X)$ が層の条件を満たすための必要十分条件は、写像 $$\Phi: \text{Hom}_{\mathbf{Top}}(\hat{\mathbb{N}}, X) \to \text{Nat}(R, I(X))$$ が全単射となることである。右辺の自然変換（両立する局所データの族）を具体的に下ろすと、ふるいの生成元 $c_1, f$ に対する引き戻しの性質から、次の2つのデータを与えることと等価になる：

1. 定数写像 $c_1$ による引き戻し：単なる $X$ の点 $x_1 \in X$。
2. シフト写像 $f$ による引き戻し：$X$ におけるある収束点列 $(y_1, y_2, \dots ; y_\infty)$。